Ödev: 5

FİZ220 - Bilgisayar Programlama II | 01/06/2020

Lineer Cebir Uygulamaları

Son gönderim tarihi: 7 Haziran Pazar, 23:59
Gönderim şekli: FIZ220_Odev_05Grup#.ipynb isimli jupyter ipynb formatında dosyayı ödev sayfasından göndermek suretiyle
Gönderecek kişi: Grup temsilcisi

Dr. Emre S. Taşcı, emre.tasci@hacettepe.edu.tr
Fizik Mühendisliği Bölümü
Hacettepe Üniversitesi

1. Soru: Eğri aslında aynı eğri

Ölçeği ayarlayıp, aşağıdaki iki grafikte verilen yayı aynı uzunluğa getirin. Eğrileri döndürmeniz ya da değerler üzerinde değişim yapmanız istenmemektedir: grafiklerden birinde (ya da dilerseniz ikisinde) x ve y eksenlerinin ölçeğini değiştirip, sonuç olarak öyle iki grafik elde edeceksiniz ki, çıktılarını alıp, sadece eğrileri kesip, üst üste koyduğumuzda birebir (/mümkün mertebe) örtüşecek boyutta olacaklar.

In [2]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

alpha = np.deg2rad(30) # derece -> radyan
beta = np.deg2rad(30) # derece -> radyan
V0 = 10 # m/s
g = 10 # m/s^2

t0 = (2*V0/g)*(np.sin(beta)/np.cos(alpha))

t = np.linspace(0,t0,10)
x = V0*np.cos(alpha+beta)*t
y = V0*np.sin(alpha+beta)*t - 0.5*g*t**2

plt.plot(x,y,"o-b")
plt.xlabel("x (m)")
plt.ylabel("y (m)")
plt.title("Rutin Koordinatlar")
#plt.xlim(0,8)
#plt.ylim(0,4)
plt.show()
In [3]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

alpha = np.deg2rad(30) # derece -> radyan
beta = np.deg2rad(30) # derece -> radyan
V0 = 10 # m/s
g = 10 # m/s^2

t0 = (2*V0/g)*(np.sin(beta)/np.cos(alpha))

t = np.linspace(0,t0,10)
xp = V0*np.cos(beta)*t - 0.5*g*np.sin(alpha)*t**2
yp = V0*np.sin(beta)*t - 0.5*g*np.cos(alpha)*t**2

plt.plot(xp,yp,"o-m")
plt.xlabel("x' (m)")
plt.ylabel("y' (m)")
plt.title("'Normal' Koordinatlar")
plt.show()

2. Soru: O öyle değil miydi ki hakikaten?

Bizim bildiğimiz -saatin tersi yönünde döndüren- dönüş matrisi: $$R_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$$

şeklinde değil miydi (yani "$-\sin\alpha$" sağ üstte; "$\sin\alpha$" sol altta olacak şekilde)?

Ama sistemimizi saatin tersi yönünde döndürmemize rağmen, neden 1. örnek olan eğik düzleme atış probleminde (ve diğer iki örnekte de) işlemi yaparken "$-\sin\alpha$"yı sol altta, "$\sin\alpha$"yı sağ üstte aldık?... (Açıklayın)

3. Soru: ???

2. örnek olan sürtünmeli eğik düzlemde kayan kütlenin 'normal' koordinat sistemindeki hareket denklemleri olan:

$$\mu F_N - mg\sin\theta = m\ddot{x}'\\ F_N - mg\cos\theta =m\ddot{y}'\\ \ddot{y}'=0$$

üç denklemi lineer denklem seti olarak matris çarpımı ile temsil ederken:

$$\begin{pmatrix}m&0&-\mu\\ 0&m &-1\\ 0 & 220 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\ddot{x}'\\\ddot{y}'\\F_N\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-mg\sin\theta\\-mg\cos\theta\\0\end{pmatrix}$$

şeklinde yazdık. En alt satırın orta sütunundaki "220" değeri nereden geldi? Dersimizin koduyla aynı oluşu tesadüf mü?

4. Soru: Soruları severim ama, cevaplarım ama, sağlama yapmasak?

$$\begin{pmatrix}-(k+K)&K\\K&-(k+K)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = -m\omega^2\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$$

şeklinde verilen üç yay, iki cisim sistemi denklem takımını normal koordinatlar ifade etmek için özdeğer ve özvektörlerini hesaplatmıştık:

In [4]:
import numpy as np

m = 1 # kg
k = 10 # N/m
K = 30 # N/m

A = np.array([[-(k+K),K],[K,-(k+K)]])

[l,u] = np.linalg.eig(A)
u_inv = np.linalg.inv(u)
D = np.diag(l)

print(l)
print(D)
print(u)

[-10. -70.]
[[-10.   0.]
 [  0. -70.]]
[[ 0.70710678 -0.70710678]
 [ 0.70710678  0.70710678]]

İlgili özdeğer ve özvektörlerin:

$$A\vec{u}_i = \lambda_i\vec{u}_i$$

özdeğer denklemini sağladığını teyit edin.

Bonus: Soruya ait A matrisini, özvektörler matrisinden ve köşegenleştirilmiş formu kullanarak geri üretin.