FİZ219 - Bilgisayar Programlama I | 12/01/2020

Final Ödevi

Wheatstone Köprüsü

Son gönderim tarihi: 24 Ocak Pazar, 23:59

Elektronik devreler laboratuvarında bize aşağıdaki gibi bir devre verilmiş olsun:

Wheatstonebridge.png

$R_2$ direnci reosta da denilen, değeri ayarlanabilir bir direnç. $R_1$ ve $R_3$ dirençlerini bir kutudan rastgele çekiyoruz, neyse ki onların dirençlerini üzerlerindeki renklere bakıp anlayabiliyoruz. Devremize uygulanan potansiyel farkı ($V_s$) da biliyoruz. $D$ ile $B$ noktalarının arasına bağlı olan bir galvanometre (esasen hassas akım ölçerdir; biz ise deneyimizde çok yüksek bir direnç monte edilmiş haliyle, doğrudan hassas potansiyel farkı ölçmekte kullanıyoruz) ile de o iki nokta arasındaki potansiyel farkı ($V_G$) ölçebiliyoruz. Durum böyleyken böyle yani.

Bizden istenen, kapalı bir kutu içerisinde verilen $R_x$ direncinin değerini $10^{-5}$ hassasiyetle saptamamız.

Hesaplamalara başlamadan önce önemli not

Kodunuzda (clear, clc, vs. tarzı "sıfırlayıcı" komutlar kullanarak başlıyorsanız tabii ki onlardan sonra) ilk rastgele hesabı gerçekleştirmeden evvel (bir kereliğine) şu satırı yerleştirin:

rand("seed",219)

Bu komut sayesinde sizin kodunuzu bir başkası ("ben" 8) çalıştırdığında, sizin bulduğunuz rastgele değerlerin aynısı elde edilebilecektir.

Kutudan $R_1$ ve $R_3$'ün rastgele çekimi

Yapılacaklar #1: R1 ve R3 değerlerine $[10,30]\,\Omega$ aralığından rastgele tam sayı değerler atayın (kafanızdan değil tabii, bilgisayara atatın 8).

Bilmediğimiz $R_x$

Yapılacaklar #2: Bulmaya çalıştığımız Rx değerine de yine aralığında rastgele bir sayı atatın (ama buna bakmayın).

$R_2$ en son kaçta kaldıysa...

Yapılacaklar #3: Sizden önce reostayı kullananlar reostanın değerini $[0,50]\,\Omega$ aralığında bir değerde bırakmışlar, siz de bu R2 değerini bu şekilde tanımlayın.

$V_s$'yi de ayarlayalım

Yapılacaklar #4: Devreye uygulanan potansiyel fark olan $V_s$ değerini de 30 V'a ayarlayın.

Önce Teori...

Devremizi, kabloları uzatıp/kısaltarak yeniden düzenlemek suretiyle elektriksel anlamda hiçbir şey değiştirmeden şu şekile getirebiliriz (unutmayın ki, aradaki galvanometre D ile B noktaları arasındaki potansiyel farkı ölçmek için kullandığımız bir alet, ideal durumda devreye bir etkisi olamaz):

Wheatstone.png
Kaynak: Wikipedia

ADC ile ABC kolları birbirine paralel olduklarından dolayı, $V_{ADC}=V_{ABC}$, onlar da $V_s$'ye eşit olur (üç kolun da uçları arasındaki potansiyel farkın aslında $V_{AC}$ oluşundan):

$$V_s=V_{AC}=V_{ADC}=V_{ABC}$$

ADC kolu üzerinden geçen akımı $I_1$, ABC kolu üzerinden geçen akımı da $I_3$ ile gösterelim: $R_1$ ile $R_2$ seri bağlandıklarından $R_1$'den geçen $I_1$ akımı $R_2$'den de geçer; benzer şekilde, $R_3$'ten geçen $I_3$ akımı, $R_x$'den de geçer.

D ile C noktaları arasındaki potansiyel fark, $R_2$ ile üzerinden geçen akımın ($I_1$) çarpımından bulunur:

$$V_{DC} = I_1 R_2$$

$V_{ADC}$ kolunun uçları arasındaki potansiyel farkın $V_s$'ye eşit olduğunu çıkarmıştık, aynı potansiyel farkı o koldaki toplam (eşdeğer) direnç ($R_1 + R_2$) ile koldan geçen akımı ($I_1$) çarparak da bulabiliriz:

$$V_s = I_1 (R_1 + R_2)$$

İki denklemi birbirine bölersek:

$$\require{cancel} \frac{V_{DC}}{V_{s}} = \frac{\cancel{I_1} R_2}{\cancel{I_1}(R_1+R_2)}\rightarrow\boxed{V_{DC}=\frac{R_2}{R_1+R_2}V_s}$$

Benzer işlemleri ABC kolu üzerinde de yaparsak:

$$V_{BC} = I_3 R_x$$$$V_s = I_3 (R_3 + R_x)$$

bunları da birbirine bölünce:

$$\frac{V_{BC}}{V_{s}} = \frac{\cancel{I_3} R_x}{\cancel{I_3}(R_3+R_x)}\rightarrow\boxed{V_{BC}=\frac{R_x}{R_3+R_x}V_s}$$

Galvanometrenin ölçtüğü $V_G=V_{DB}$ potansiyel farkı doğal olarak $V_{DC}$ ile $V_{BC}$ olur:

$$V_{G} = V_{DC} - V_{BC}$$

eşitliklerden yerlerine koyarsak:

$$V_{G} =\left(\frac{R_2}{R_1+R_2} - \frac{R_x}{R_3+R_x}\right)V_s$$

olarak çıkar.

Teoriden fonksiyona

Yapılacaklar #5: Parametre olarak R1, R2, R3, Rx, Vs değerlerini kabul edip, yukarıdaki şekilde işleyip VG döndüren bir VG(R1,R2,R3,Rx,Vs) fonksiyonu yazınız.

Örneğin: VG(23,10,13,20,19) ==> -5.7576 vermeli.

Deneye başlıyoruz

Elimizde oynayacağımız tek şey $R_2$'nin değeri, ölçebileceğimiz tek şey de $V_G$ olduğundan, biz de biriyle oynayıp, diğerini okuyalım.

Burada unutmamamız gereken şey, deneyde bize değerini tespit etmemiz için verilen $R_x$ direncinin biz bilmesek de bir değeri olmasıdır. Böyle yazınca bariz görünüyor ama aslında kodumuzda gömülü bir $R_x$ değeri olması da aynı anlama geliyor (yani kodumuzda tanımlı olması, onu biliyor olduğumuz anlamına gelmemekte). Dahası, deneyde doğrudan $R_x$'i -yüksek hassasiyet ile- ölçemiyoruz ama ona bağlı bir fonksiyon değeri olan $V_G$ potansiyel farkını ölçebiliyoruz.

Bu yaptığımız kısmı deneyde yapıyor olduğumuzu varsayacağız:

Yapılacaklar #6: Reosta değeri $R_2$ ile oynayarak, galvanometrede okuduğumuz $V_G$ değerlerine bakarak, **sistematik** bir şekilde $V_G$'yi sıfır (ya da neredeyse sıfır) yapan $R_2$ değerini bulun.

Bu aşamaya ulaştığımızda (yani $V_G = V_{DB} = 0$ olduğunda), $V_D$ ile $V_B$ aynı değerde demektir. $R_1$ ile $R_3$ yukarıdan $V_A$ potansiyelinde, aşağıdan $V_D = V_B$ potansiyelinde olduklarından, iki uçları arasındaki potansiyel fark eşit hale gelmiş olur, yani:

$$V_{AD} = I_1 R_1 = I_3 R_3 = V_{AB}$$

Buradan $I_3$'ü çekersek:

$$I_3 = \frac{R_1}{R_3} I_1$$

bulunur.

$V_D$ ile $V_B$ aynı değerde olduğundan, yine aynı mantıkla, $V_{DC} = V_{BC}$, yani:

$$V_{DC} = I_1 R_2 = I_3 R_x = V_{BC}$$

($I_3$'ü yukarıda bulduğumuzdan, bu denklemdeki tek bilinmeyen $R_x$ kaldı)

$R_x$', yalnız bırakırsak:

$$R_x = \frac{I_1}{I_3}R_2$$

olarak hesaplanmış olur.

Yapılacaklar #7: I3 değerini bulduktan sonra, Rx değerini yukarıdaki denklemden hesaplayın, en başta rastgele olarak hesapladığınız değerle kıyaslayın. (Aradaki fark $10^{-5}\,\Omega$'dan küçük olmalı)

Yapılacaklar #8: R2nin değerini 10'dan 30'a kadar değiştirerek elde ettiğiniz VG değerlerinin grafiğini çizdirin.

Bonus: $R_1$'in de reosta olduğunu varsayıp, $[10,50]\,\Omega$ aralığında farklı R1 ve R2 değerlerine karşılık gelen üç boyutlu VG grafiğini çizdirin.

Ödev Kuralları