Elektronik devreler laboratuvarında bize aşağıdaki gibi bir devre verilmiş olsun:
$R_2$ direnci reosta da denilen, değeri ayarlanabilir bir direnç. $R_1$ ve $R_3$ dirençlerini bir kutudan rastgele çekiyoruz, neyse ki onların dirençlerini üzerlerindeki renklere bakıp anlayabiliyoruz. Devremize uygulanan potansiyel farkı ($V_s$) da biliyoruz. $D$ ile $B$ noktalarının arasına bağlı olan bir galvanometre (esasen hassas akım ölçerdir; biz ise deneyimizde çok yüksek bir direnç monte edilmiş haliyle, doğrudan hassas potansiyel farkı ölçmekte kullanıyoruz) ile de o iki nokta arasındaki potansiyel farkı ($V_G$) ölçebiliyoruz. Durum böyleyken böyle yani.
Bizden istenen, kapalı bir kutu içerisinde verilen $R_x$ direncinin değerini $10^{-5}$ hassasiyetle saptamamız.
Kodunuzda (clear
, clc
, vs. tarzı "sıfırlayıcı" komutlar kullanarak başlıyorsanız tabii ki onlardan sonra) ilk rastgele hesabı gerçekleştirmeden evvel (bir kereliğine) şu satırı yerleştirin:
rand("seed",219)
Bu komut sayesinde sizin kodunuzu bir başkası ("ben" 8) çalıştırdığında, sizin bulduğunuz rastgele değerlerin aynısı elde edilebilecektir.
Yapılacaklar #1: R1
ve R3
değerlerine $[10,30]\,\Omega$ aralığından rastgele tam sayı değerler atayın (kafanızdan değil tabii, bilgisayara atatın 8).
Yapılacaklar #2: Bulmaya çalıştığımız Rx
değerine de yine
aralığında rastgele bir sayı atatın (ama buna bakmayın).
Yapılacaklar #3: Sizden önce reostayı kullananlar reostanın değerini $[0,50]\,\Omega$ aralığında bir değerde bırakmışlar, siz de bu R2
değerini bu şekilde tanımlayın.
Yapılacaklar #4: Devreye uygulanan potansiyel fark olan $V_s$ değerini de 30 V'a ayarlayın.
Devremizi, kabloları uzatıp/kısaltarak yeniden düzenlemek suretiyle elektriksel anlamda hiçbir şey değiştirmeden şu şekile getirebiliriz (unutmayın ki, aradaki galvanometre D ile B noktaları arasındaki potansiyel farkı ölçmek için kullandığımız bir alet, ideal durumda devreye bir etkisi olamaz):
Kaynak: Wikipedia
ADC ile ABC kolları birbirine paralel olduklarından dolayı, $V_{ADC}=V_{ABC}$, onlar da $V_s$'ye eşit olur (üç kolun da uçları arasındaki potansiyel farkın aslında $V_{AC}$ oluşundan):
$$V_s=V_{AC}=V_{ADC}=V_{ABC}$$ADC kolu üzerinden geçen akımı $I_1$, ABC kolu üzerinden geçen akımı da $I_3$ ile gösterelim: $R_1$ ile $R_2$ seri bağlandıklarından $R_1$'den geçen $I_1$ akımı $R_2$'den de geçer; benzer şekilde, $R_3$'ten geçen $I_3$ akımı, $R_x$'den de geçer.
D ile C noktaları arasındaki potansiyel fark, $R_2$ ile üzerinden geçen akımın ($I_1$) çarpımından bulunur:
$$V_{DC} = I_1 R_2$$$V_{ADC}$ kolunun uçları arasındaki potansiyel farkın $V_s$'ye eşit olduğunu çıkarmıştık, aynı potansiyel farkı o koldaki toplam (eşdeğer) direnç ($R_1 + R_2$) ile koldan geçen akımı ($I_1$) çarparak da bulabiliriz:
$$V_s = I_1 (R_1 + R_2)$$İki denklemi birbirine bölersek:
$$\require{cancel} \frac{V_{DC}}{V_{s}} = \frac{\cancel{I_1} R_2}{\cancel{I_1}(R_1+R_2)}\rightarrow\boxed{V_{DC}=\frac{R_2}{R_1+R_2}V_s}$$Benzer işlemleri ABC kolu üzerinde de yaparsak:
$$V_{BC} = I_3 R_x$$$$V_s = I_3 (R_3 + R_x)$$bunları da birbirine bölünce:
$$\frac{V_{BC}}{V_{s}} = \frac{\cancel{I_3} R_x}{\cancel{I_3}(R_3+R_x)}\rightarrow\boxed{V_{BC}=\frac{R_x}{R_3+R_x}V_s}$$Galvanometrenin ölçtüğü $V_G=V_{DB}$ potansiyel farkı doğal olarak $V_{DC}$ ile $V_{BC}$ olur:
$$V_{G} = V_{DC} - V_{BC}$$eşitliklerden yerlerine koyarsak:
$$V_{G} =\left(\frac{R_2}{R_1+R_2} - \frac{R_x}{R_3+R_x}\right)V_s$$olarak çıkar.
Yapılacaklar #5: Parametre olarak R1, R2, R3, Rx, Vs değerlerini kabul edip, yukarıdaki şekilde işleyip VG döndüren bir VG(R1,R2,R3,Rx,Vs)
fonksiyonu yazınız.
Örneğin:
VG(23,10,13,20,19) ==> -5.7576
vermeli.
Elimizde oynayacağımız tek şey $R_2$'nin değeri, ölçebileceğimiz tek şey de $V_G$ olduğundan, biz de biriyle oynayıp, diğerini okuyalım.
Burada unutmamamız gereken şey, deneyde bize değerini tespit etmemiz için verilen $R_x$ direncinin biz bilmesek de bir değeri olmasıdır. Böyle yazınca bariz görünüyor ama aslında kodumuzda gömülü bir $R_x$ değeri olması da aynı anlama geliyor (yani kodumuzda tanımlı olması, onu biliyor olduğumuz anlamına gelmemekte). Dahası, deneyde doğrudan $R_x$'i -yüksek hassasiyet ile- ölçemiyoruz ama ona bağlı bir fonksiyon değeri olan $V_G$ potansiyel farkını ölçebiliyoruz.
Bu yaptığımız kısmı deneyde yapıyor olduğumuzu varsayacağız:
Yapılacaklar #6: Reosta değeri $R_2$ ile oynayarak, galvanometrede okuduğumuz $V_G$ değerlerine bakarak, **sistematik** bir şekilde $V_G$'yi sıfır (ya da neredeyse sıfır) yapan $R_2$ değerini bulun.
Bu aşamaya ulaştığımızda (yani $V_G = V_{DB} = 0$ olduğunda), $V_D$ ile $V_B$ aynı değerde demektir. $R_1$ ile $R_3$ yukarıdan $V_A$ potansiyelinde, aşağıdan $V_D = V_B$ potansiyelinde olduklarından, iki uçları arasındaki potansiyel fark eşit hale gelmiş olur, yani:
$$V_{AD} = I_1 R_1 = I_3 R_3 = V_{AB}$$Buradan $I_3$'ü çekersek:
$$I_3 = \frac{R_1}{R_3} I_1$$bulunur.
$V_D$ ile $V_B$ aynı değerde olduğundan, yine aynı mantıkla, $V_{DC} = V_{BC}$, yani:
$$V_{DC} = I_1 R_2 = I_3 R_x = V_{BC}$$($I_3$'ü yukarıda bulduğumuzdan, bu denklemdeki tek bilinmeyen $R_x$ kaldı)
$R_x$', yalnız bırakırsak:
$$R_x = \frac{I_1}{I_3}R_2$$olarak hesaplanmış olur.
Yapılacaklar #7: I3
değerini bulduktan sonra, Rx
değerini yukarıdaki denklemden hesaplayın, en başta rastgele olarak hesapladığınız değerle kıyaslayın. (Aradaki fark $10^{-5}\,\Omega$'dan küçük olmalı)
Yapılacaklar #8: R2
nin değerini 10'dan 30'a kadar değiştirerek elde ettiğiniz VG
değerlerinin grafiğini çizdirin.
Bonus: $R_1$'in de reosta olduğunu varsayıp, $[10,50]\,\Omega$ aralığında farklı R1
ve R2
değerlerine karşılık gelen üç boyutlu VG
grafiğini çizdirin.
grupadi_finalodevi_1.m
, grupadi_finalodevi_2.m
, ... şeklinde olacak, zip dosyasının adı ise FIZ219_FinalOdevi_GrupAdi.zip
biçiminde olacaktır.